泛函分析重要问题记录

距离空间

1. 证明：Arzela定理：$C[a,b]$中的子集$A$是列紧的，当且仅当$A$中的函数是一致有界和等度连续的.

   即存在$K>0$，使得对于每一点$t\in [a,b]$及一切$x\in A$，有$\vert x(t)\vert \leq K$，并且对于任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$\vert t_1 - t_2 \vert < \delta$时，$\vert x(t_1)-x(t_2)\vert < \varepsilon (\forall x\in A)$.

2. 证明：距离空间$(X,d)$上的压缩映射原理（也叫Banach不动点定理）。

3. 证明：任何距离空间都可以完备化。（同理可证：任何赋范线性空间都可以完备化）

赋范空间

1. 证明：$L^p(E)(1\leq p < \infty)$是Banach空间（即完备的赋范空间）。

2. 证明：$L^p[a,b]$是可分的（具有可数稠密子集）。

3. 证明：$L^\infty(E)$是不可分的Banach空间。

4. 证明：对于任意的$x(t)\in L^\infty(E),m(E)<\infty$，有$\Vert x\Vert_p \rightarrow \Vert x\Vert_\infty$，即

   $$\lim_{p \rightarrow +\infty}\left(\int_E\vert x(t)\vert^p dt\right)^\frac{1}{p}=\Vert x\Vert_\infty$$

   证明如下：

   $$由\Vert x\Vert_\infty定义可知，\forall \varepsilon >0，存在集合E_1 \subset E，m(E_1)>0，\\ s.t. \forall t\in E_1，\Vert x\Vert_\infty - \varepsilon \leq x(t)\leq \Vert x\Vert_\infty \\ 则\left(\int_{E_1}(\Vert x\Vert_\infty - \varepsilon)^p dt\right)^\frac{1}{p} \leq \left(\int_E\vert x(t)\vert^p dt\right)^\frac{1}{p} \leq \left(\int_E\Vert x\Vert_\infty^p dt\right)^\frac{1}{p}\\ 即(\Vert x\Vert_\infty - \varepsilon)m(E_1)^\frac{1}{p} \leq \left(\int_E\vert x(t)\vert^p dt\right)^\frac{1}{p} \leq \Vert x\Vert_\infty m(E)^\frac{1}{p}\\ 对不等式取极限有\Vert x\Vert_\infty - \varepsilon \leq \lim_{p \rightarrow +\infty}\left(\int_E\vert x(t)\vert^p dt\right)^\frac{1}{p} \leq \Vert x\Vert_\infty\\ 由\varepsilon 的任意性可得\lim_{p \rightarrow +\infty}\left(\int_E\vert x(t)\vert^p dt\right)^\frac{1}{p}=\Vert x\Vert_\infty$$

5. 证明：赋范线性空间$X$的一个子空间$X_1$是开集，则$X_1=X$。

6. 证明：Riese引理：设$(X,\Vert \cdot \Vert)$是一个赋范空间，$X_0$是$X$的真闭子空间，则对于$\forall\varepsilon >0$，存在$x_0\in X$，使得$\Vert x_0 \Vert=1$，且对于$\forall x\in X_0$，

   $$\Vert x-x_0\Vert > 1-\varepsilon.$$

7. 证明：任意实的$n$维赋范空间必与$R^n$代数同构，拓扑同胚。

8. 证明：赋范空间是有限维的当且仅当$X$中的任何有界集是列紧的。

9. 证明：设$X$是Banach空间，$M$是$X$的闭子空间，则赋范空间$X$关于$M$的商空间$X/M$是Banach空间。

内积空间

1. 证明：Schwarz不等式：设$H$是内积空间，对于$\forall x,y\in H$，有

   $$\Vert (x,y)\Vert^2 \leq (x,x)(y,y).$$

2. 证明：正交列完备的条件是它是最大的正交列，此时Parseval等式成立（四个等价命题）。

线性算子和线性泛函

1. 证明：线性算子连续则必有界，有界则必连续。

2. 证明：设$(X,\Vert \cdot \Vert)$是有限维赋范空间，$(Y,\Vert \cdot \Vert)$是任意一个赋范空间，$T$是从$X$到$Y$的线性算子，则$T$是有界线性算子。

3. 证明：Baire纲定理：完备的距离空间是第二纲集。（即不能由至多可数个疏集的并表示）

4. 证明：一致有界原则：设$\{T_\alpha | \alpha \in I \}$是Banach空间$X$上到赋范空间$X_1$中的有界线性算子族，如果对于$\forall x \in X$，有

   $$\sup_\alpha \Vert T_\alpha x\Vert < \infty,$$

   则$\{T_\alpha | \alpha \in I \}$是有界集。

5. 证明：开映射定理：Banach空间的有界线性算子将开集映射成开集。

6. 证明：逆算子定理：设$T$是从Banach空间$X$上到Banach空间$X_1$上的一对一的有界线性算子，则$T$的逆算子存在，且$T^{-1}$是有界的。

7. 证明：闭图像定理：设$T$是Banach空间$X$上到Banach空间$X_1$中的闭线性算子，则$T$是有界线性算子。

8. 证明：复的Hahn-Banach定理：设$X$是一个复的赋范空间，$G$是$X$的子空间，$f$是$G$上的有界线性泛函，则$f$可以保持范数不变地延拓到全空间$X$上。

   即存在$X$上的有界线性泛函$F$，使得

   (1) 对于$\forall x\in G,F(x)=f(x)$；

   (2) $\Vert F \Vert = \Vert f \Vert_G$，

   其中$\Vert f \Vert_G$表示$f$作为$G$上的有界线性泛函的范数。

   提示：证明过程会用到Zorn引理，设$P$是非空半序集，如果$P$中任何全序子集都有上界，则$P$至少有一个极大元。

共轭空间和共轭算子

1. 证明：$f$是$L^p[a,b]$上的有界线性泛函，则存在唯一的$y(t)\in L^q[a,b]$，$(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1)$，使得

   $$f(x)=\int^b_a x(t)y(t)dt, \forall x \in L^p[a,b],$$

   且

   $$\Vert f \Vert = \Vert y \Vert_q = (\int_a^b \vert y(t) \vert^q dt)^\frac{1}{q}.$$

   反之，对于$\forall y \in L^q[a,b]$，上式定义了$L^p[a,b]$上的一个有界线性泛函。（注意：此定理证明要用到大量实变函数定理）

2. 证明：Riesz表示定理：设$H$是一个Hilbert空间，$f$是$H$上的有界线性泛函，则存在唯一的$y_f \in H$，使得

   $$f(x)=(x,y_f), \forall x \in H,$$

   并且

   $$\Vert f \Vert = \Vert y_f \Vert.$$

   （提示：在该定理证明过程中，应该深刻理解维度的概念，感受泛函分析的美妙）

3. 证明：$L^p(1<p<\infty)$是自反的，$l^p(1<p<\infty)$是自反的。

4. 证明：如果$\{x_n\}
   $弱收敛，则$\{\Vert x_n \Vert\}$有界。（提示：用一致有界原则，体会数学思想）

5. 证明：设$X$是Banach空间，$T\in B(X)$，则$\sigma(T)$是有界集。

6. 证明：设$T$是Banach空间$X$到$X$的有界线性算子，$\lambda \in \rho(T)$，且$\vert \mu \vert < \Vert (\lambda I - T)^{-1}\Vert^{-1}$，则$\lambda + \mu \in \rho(T)$，即$\rho(T)$是一个开集。

7. 证明：设$T$是有界线性算子，则$\sigma(T)\neq \phi$。（注意：此定理难度超高，立足的空间来去变换，如若掌握证明技巧，对抽象思维大有裨益）

8. 证明：设$T\in B(X)$，则$r_\sigma(T)=\sup_{\lambda \in \sigma\{T\}} \vert \lambda \vert$。

谱理论

1. 证明：设$T$是Hilbert空间$H$上的自共轭算子，则$T$的剩余谱是空集。（提示：用到共轭算子零空间、正交、值域所具有的一些性质）

2. 证明：设$H$是Hilbert空间，线性算子$T\in B(H)$是紧的，当且仅当存在$B(H)$中的一列有穷秩算子$T_n$，使得$\Vert T-T_n\Vert \rightarrow 0(n\rightarrow\infty)$。

3. 证明：设$X$是Banach空间，$T_1,T_2\in B(X)$。则：

   (1) $T_1$和$T_2$中有一个是紧的，那么$T_1T_2$是紧的。

   (2) $T\in B(X)$，$T$是紧的当且仅当$T^*$是紧的。

4. 证明：恒等算子$I:X\rightarrow X$是紧的，当且仅当$\dim{X} < \infty$。（提示：用Riesz引理）

5. 证明：设$T$是赋范空间$X$到$X$的紧线性算子，那么对于$\forall a>0$，$T$的特征值$\lambda$满足$\vert \lambda \vert > \alpha$的个数是有限的。

6. 证明：令$T$是从赋范空间$X$到$X$的紧线性算子，若$\lambda \neq 0$，则$\lambda I-T$的零空间$N(\lambda I-T)$是有限维的。

7. 证明：设$T$是从Banach空间$X$到$X$的紧线性算子，$\lambda \neq 0$，则$R(\lambda I-T)$是闭的。

8. 证明：$X$是Banach空间，$T\in K(X)$，$\lambda \neq 0$，若$N(\lambda I-T)=\{0\}$，则$R(\lambda I-T)=X$。

9. 证明：设$T$是从Hilbert空间$H$到$H$的紧线性算子，$\lambda \neq 0$，则

   $$H=N(\bar{\lambda}-T^*)\oplus R(\lambda I-T).$$

10. 证明：Fredholm二择一定理：设$T$是从Hilbert空间$H$到$H$的紧线性算子，$\lambda \neq 0$，则：

    (i) 对于任意的$y\in H$，非齐次方程

    $$(\lambda I-T)x=y \tag{1}$$

    有唯一解的充要条件是齐次方程

    $$(\lambda I-T)x=0 \tag{2}$$

    没有非零解。

    (ii) 若方程(2)有非零解，

    非齐次方程(1)有解的充要条件是$y$与方程

    $$(\bar{\lambda}I-T^*)x=0 \tag{3}$$

    的所有解正交，即：$y\perp N(\bar{\lambda}I-T^*)$。